“斜值”为 1/2 的点：交点个数动态演示

【简明解答版】

第一步：求出“斜值”为 1/2 的点的轨迹

设点 \(P(x, y)\)，其中 \(xy \neq 0\)。根据定义分两种情况：

1. 当 \(x \ge y\) 时，“斜值” \(k = \left|\frac{y}{x}\right| = \frac{1}{2}\)，解得 \(y = \pm \frac{1}{2}x\)。
   • 若 \(y = \frac{1}{2}x\)，由 \(x \ge \frac{1}{2}x\) 得 \(x > 0\)，即第一象限射线 \(y = \frac{1}{2}x \ (x>0)\)。
   • 若 \(y = -\frac{1}{2}x\)，由 \(x \ge -\frac{1}{2}x\) 得 \(x > 0\)，即第四象限射线 \(y = -\frac{1}{2}x \ (x>0)\)。
2. 当 \(x < y\) 时，“斜值” \(k = \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{1}{2}\)，解得 \(y = \pm 2x\)。
   • 若 \(y = 2x\)，由 \(x < 2x\) 得 \(x > 0\)，即第一象限射线 \(y = 2x \ (x>0)\)。
   • 若 \(y = -2x\)，由 \(x < -2x\) 得 \(x < 0\)，即第二象限射线 \(y = -2x \ (x<0)\)。

图示主要思想：在坐标系中画出这四条射线（原点处断开，因为原点没有“斜值”）。它们分为两组：第一、四象限的平缓线（\(y = \pm \frac{1}{2}x\)）和第一象限的陡峭线（\(y = 2x\)）以及第二象限的陡峭线（\(y = -2x\)）。

第二步：平移正方形，寻找恰有 2 个交点的临界状态

正方形 \(ABCD\) 的纵坐标固定在 \(y \in [-1, 1]\)，横坐标随 \(m\) 变化为 \(x \in [m, m+2]\)。让正方形从左向右平移，观察其边界与射线的交点：

• 当 \(m < -2.5\) 时：正方形在射线 \(y = -2x\) 左侧，交点数 \(= 0\)。
• 当 \(m = -2.5\) 时：正方形右边界刚好碰到射线 \(y = -2x\) 于顶点 \(D(-0.5, 1)\)，交点数 \(= 1\)（舍去）。
• 👉 当 \(-2.5 < m < -2\) 时：射线 \(y = -2x\) 穿过正方形的上边界和右边界，交点数恰好 \(= 2\)（符合条件）。
• 当 \(m = -2\) 时：正方形右边界与 \(y\) 轴重合。因为原点无定义，右边界上的交点消失，仅剩上边界一个交点，交点数 \(= 1\)（舍去）。
• 当 \(-2 < m < 2\) 时：正方形跨越 \(y\) 轴。第一、四象限的射线加入，导致交点数激增（至少 3 个，最多 6 个），不符合“恰好 2 个”。
• 👉 当 \(m = 2\) 时：正方形左边界为 \(x = 2\)。射线 \(y = \frac{1}{2}x\) 和 \(y = -\frac{1}{2}x\) 恰好交于正方形的两个顶点 \(D(2, 1)\) 和 \(C(2, -1)\)，交点数恰好 \(= 2\)（符合条件）。
• 当 \(m > 2\) 时：正方形在射线右侧，交点数 \(= 0\)。

第三步：得出结论

综上所述，当正方形边上有且仅有两个“斜值”为 \(\frac{1}{2}\) 的点时，\(m\) 的取值范围是：